การนับจำนวนอะตอมในหน่วยเซล
 
Cubic system
-a=b=c α=β=γ=90
-3 Bravais lattices
Simple / primitive Face-centered Body-centered
Symbol |
Hermann-Mauguin |
Pearson |
Simple |
P |
cP |
Face-centered |
F |
cF |
Body-centered |
I |
cI |
Tetragonal system
-a=b≠c α=β=γ=90
-2 Bravais lattices
 
Symbol |
Hermann-Mauguin |
Pearson |
Simple |
P |
tP |
Body-centered |
I |
tI |
Othorhombic system
- a ≠ b≠c α=β=γ=90
- 4 Bravais lattices
Symbol |
Hermann-Mauguin |
Pearson |
Simple |
P |
oP |
Based-centered |
C |
oC |
Face-centered |
F |
oF |
Body-centered |
I |
oI |
Rhombohedral System
- a=b=c α=β=γ ≠ 90
-1 Bravais lattices
Symbol |
Hermann-Mauguin |
Pearson |
Simple |
R |
hR |
Hexagonal System
- a = b≠c α=β=90 γ=120
- 1 Bravais lattices
Symbol |
Hermann-Mauguin |
Pearson |
Simple |
R or C |
hP |
Monoclinic System
- a ≠ b≠c α=γ=900 β ≠ 1200
- 2 Bravais lattices
 
Simple Based –centered
Symbol |
Hermann-Mauguin |
Pearson |
Simple |
P |
mP |
Based–centered
|
C |
mC |
Triclinic System
- a ≠ b≠c α ≠ γ ≠ β ≠ 90
- 1 Bravais lattices
Symbol |
Hermann-Mauguin |
Pearson |
Simple |
P |
aP |
การจัดเรียงของอนุภาคในผลึก
- ในธรรมชาติผลึกมีการจัดเรียงอนุภาคในลักษณะทีเป็นแถวของอะตอม (หรือโมเลกุลหรือไอออน) เรียงติดต่อ่อกันและทับกันเป็นชั้น ๆ
เกิดโครงสร้างได้ 2 ประเภทคือ
- โครงสร้างแบบชิดทีสุด (closest packedstructure)
- โครงสร้างแบบไม่ชิดที่สุด (non- closest packedstructure)
โครงสร้างแบบชิดที่สุด
-อนุภาคที่มีการเรียงในลักษณะนี้จะเรียงสัมผัสชิดกัน มีความหนาแน่นมากที่สุด
- พบในบรรดาโลหะเกือบทั้งหมด
- การเรียงโครงสร้างแบบชิดที่สุด แบ่ง่งออกได้ 2 แบบคือ
- โครงสร้างชิดที่สุดแบบรูปเฮกซะโกนอล(hexagonalclosest-packed structure)
- โครงสร้างชิดทีสุดแบบรูปลูกบาศก์(cubic closest-packedstructure, ccp หรือ fac center cubic, fcc)
การเรียงลูกทรงกลมแบบชิดที่สุด
-ลูกทรงกลมจะมีจุดศูนย์ก์กลางอยู่บ่บนระนาบเดียวกัน ทรงกลมหนึ่งลูกถูกลอ้อมด้วยทรงกลมอื่น 6 ลูก เรียกตำแหน่งที่ ทรงกลมเหล่านั้นอยูว่า “a”
-ระนาบที่จัดเป็นชั้นที่ 1 ระหว่างทรงกลม 3 ลูกที่ชิดกันทีสุดจะพบว่ามีช่อ่องว่าง 2 ลักษณะคือ b และ c
แบบที 1 ถ้าวางทรงกลมในชั้น
ที 3 ให้ต้ตรงกับ a (ชั้นที 2 วางที b) โดยในชั้นต่อ ๆ ก็จะตรงกับตำแหน่ง่ง b a b …ลำดับของ
การเรียงทรงกลมจึงเป็นแบบ ABAB AB… ซึ่งเรียกว่าเป็นการจัดเรียงอนุภาคแบบชิดทีสุดรูปเฮกซะโกนอล
-แบบที 2 ถ้าวางทรงกลมในชั้นที 3 ให้ต้ตรงกับ c (ชันที 2 วางทีb) โดยในชั้นต่อ่อ ๆ ก็จะตรงกับตำแหน่ง abc abc…
ลำดับของการเรียงทรงกลมจึงเป็นแบบ ABC ABC… ซึ่งเรียกว่าเป็นการจัดเรียงอนุภาคแบบชิดที่สุดรูปลูกบาศก์
โครงสร้าางผลึก (Crystal structure)
โครงสร้าางผลึก :
- โครงสร้างผลึกแบบ FCC
- โครงสร้างผลึกแบบ BCC
- โครงสร้างผลึกแบบ HCP
โครงสร้างผลึกแบบ FCC (Face Center Cubic)
โครงสร้างผลึกแบบ FCC
- Al, Ca, Ni, Cu, Sr, Rh, Pd,
Ag, Ir, Pt, Au, Pb, Ce, Yt
ระนาบที่ชิดที่สุด(Close-packed planes) = (1 1 1)
ทิศทางที่ชิดที่สุด(Close-packed direction) = [1 1 1]
ลำดับการซ้อ นทับ(Stacking sequence) = ABCABCABC ...
ลูกบาศก์(Cubic): a = b =c, α = β = γ = 90°
4 อะตอมต่อ 1 unit cell: (0, 0, 0) (0, 1/2, 1/2) (1/2, 0, 1/2)(1/2, 1/2, 0)
- จำนวนพิกัด(coordination number, CN) = จำนวนของอะตอมที่อยู่ใกล้ซึ่งก็คืออะตอมที่มีพันธะ= จำนวนของอะตอมที่สัมผัสกัน, CN = 12
- จำานวนอะตอมตอ่อ่ unit cell, n = 4. (สำาหรับอะตอมที่แบ่ง่งบันให้ก้กับ unit cells อืนที่ใกล้ก้กัน เราสามารถหาได้จ้จาก 1/ปริมาตร)ใน FCC unit cell จะได้ว้ว่า:
-6 อะตอมทีผิวหน้าแชร์ให้ 2 Unit cells : 6 x 1/2 = 3
- 8 อะตอมที่มุมแชร์ให้ 8 Unit cells : 8 x 1/8 = 1
- ค่าการอัดตัวของอะตอม(Atomic packing factor, APF) =ส่วนย่อยของปริมาตรที่เกิดขึนด้วยทรงกลม= (ผลรวมของ
ปริมาตรของอะตอม)/(ปริมาตรของ Unit cell) = 0.74 (ค่าสูงสุดที่ีเป็นไปได้)
โครงสร้างผลึกแบบ BCC (Body Center Cubic)
-a= 4R/√3
- Na, K, V, Cr, Fe, Rb, Nb, Mo,Cs, Ba, Eu, Ta, W
 
- จำนวนพิกัด(coordination number, CN) = 8
- จำนวนอะตอมตอ่อ่ unit cell, n = 2
- อะตอมตรงกลาง (1) ไม่ได้แแชรก์ก์ ับUnit cells อื่น : 1 x 1 = 1
- 8 อะตอมทีมุมโดยแชร์์กับอีก 8 Unit cells: 8 x 1/8 = 1
- ค่าการอัดตัวของอะตอม, APF = 0.68
*********************************************************************************************************************
**************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
- อะตอมตรงกลางและมุมจะเทียบเท่ากัน(equivalent)
โครงสร้างผลึก HCP (Hexagonal Close-Packed)
- HCP หนึงในระบบผลึกของวัสดุกลุ่มโลหะ
- มีหกอะตอมทีมุมหกเหลียมและมีอีกหนึ่งอะตอมตรงกลาง
-Be, Mg, Ti, Co, Zn, Y,Zr, Tc, Ru, Cd, Gd,Tb, Dy, Ho, Er, Tm,Lu, Hf, Re, Os, Th have this crystal structure
ระนาบที่ฐาน (0001) คือ ระนาบทีชิดที่สุด(close packed)
ทิศทางทีชิดที่สุดคือ [0001]
ลำดับการซ้อนทับ(Stacking sequence) = ABABAB ...
รูปทรงหกเหลี่ยม(Hexagonal): a = b, c = 1.63a,
α=β = 90°, γ = 120°
2 อะตอมต่อ Unit cell ทีตำแหน่ง: (0, 0, 0) (2/3, 1/3, 1/2)
- ลักษณะของการเรียงตัวของ HCP ในแต่ละชั้น (layer)
-ชั้นที 1 เป็นชั้นของการเรียงตัวของอะตอมในลักษณะหกเหลี่ยม
ชั้นที่2 :
-ช่องว่างทีเป็นหลุมระหว่างชั้นเติมด้วยทรงกลมไม่ได้
- ทำให้เกิดช่องว่าง (holes) ที่แตกต่างกันเรียกว่า ตำแหน่งการแทรกตัว(interstitial site)
- ช่องว่างแบบออกตะฮีดรอล(Octahedral; O) จะมีอะตอมจำนวน 6 อะตอมที่ประชิดโพรงนี้
- ช่องว่างแบบเตตระฮีดรอล(Tetrahedral; T±) จะมีอะตอมจำนวน 4 อะตอมทีประชิดโพรงนี้
(P = sphere,O = octahedral hole, T+ / T- = tetrahedral holes)
 -ช่องว่างเตตระฮีดรอลมีขนาดทีเล็กกว่าออกตะฮีดรอล แต่จำนวนมากกว่าเป็น 2 เท่า โดยทรงกลมลูกหนึ่งจะล้อ้อมรอบด้วย
ช่องว่างเตตะฮีดรอล 8 ช่อง
- เนื่องจากช่องว่างเตตระอีดรอลมีทรงกลมล้อมรอบ 4 ลูก นั่นคือจะเกิดช่องว่างเตตระฮีดรอล 2 ช่องต่อทรงกลม 1 ลูก
- ขณะเดียวกันทรงกลมแต่ละลูกล้อมรอบด้วยช่องว่างออกตะฮีดรอล 6 ช่อง แต่ละช่องว่างออกตะฮีดรอลมีทรงกลม 6 ลูกดังนั้นจะเกิดช่องว่างออกตะฮีดรอล 1 ช่อ ง ต่อทรงกลม 1 ลูก
Hexagonal Close-Packed
ชั้นที 3 :
- ในชั้นที 3 สามารถเรียงลำาดับได้2 แบบ
คือ
- ลำดับชั้นการเรียงแบบ ABA
- ลำดับชั้นการเรียงแบบ ABC
- Unit cell มี 2 แลตทิชพารามิเตอร์คือ a และ c.อัตราส่วนอุดมคติ(Ideal ratio) c/a = 1.633
- จำนวนพิกัด(coordination number, CN) = 12 (เหมือนกับ FCC)
-จำนวนอะตอมต่อ่อ 1 unit cell, n = 6.3 อะตอมที่ระนาบตรงกลางไม่ได้แชร์ก์กับ unit cells อื่น: 3 x 1 = 312
อะตอมทีมุมและแชร์ก์กับ 6 unit cells อื่น : 12 x 1/6 = 22 อะตอมด้านบน/ด้านล่างและแชร์ก์กับ 2 unit cells : 2 x 1/2 = 1
-ค่าการอัดตัวของอะตอม, APF = 0.74 (เหมือนกับ FCC)
-ทุก ๆ อะตอมคือค่าเทียบเท่ากัน
ตำแหน่งอะตอมในหน่วยเซล
- อธิบายจากมิติของแกนของหน่วยเซล
- ค่าต่าสุดเท่ากับ 0 และค่าสูงสุดเท่ากับ 1
ตำแหน่งอะตอมในหน่วยเซลของ cP
-Simple cubic (sc) cP
- Atomic position at 0,0,0
 ตำแหน่งอะตอมในหน่วยเซลของ cI
-Body-centered cubic (bcc) cI
-Atomic position at 0,0,0 and ½, ½, ½
 Atomic position in cF
- Face-centered cubic (fcc) cF
- Atomic position at 0,0,0 and ½, ½,0 ½,0,½and 0,½,½
 Atomic position in mC
-Body-centered monoclinic mC
- Atomic position at 0,0,0 and ½, ½,0
ทิศทางของ Lattice
 - ทิศทางใน Lattice :
- การระบุทิศทางใน lattice จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [u vw] หรือเรียกว่า ดัชนีมิลเลอร์ ( miller indices ) โดยจะใช้
เครื่องหมาย “[…]” แต่จะไม่มีเครื่องหมาย “,” คั่น
- การระบุทิศทางจะเริ่ม จากจุกกำเนิดคือ 0,0,0
- การระบุทิศทางของ lattice นั้นจะใช้ห้หลักการของเวกเตอร
์
- จะใช้สัญลักษณ์ <u v w> เป็นตัวกำาหนด
- <1 1 1> ประกอบด้ว้วยทิศทางดังนี้คือ
-ทิศทางอืน ๆ เช่น [3 2 4] จะได้ว้ว่าตำาแหน่งง X=3/4, Y=2/4, Z=4/4 หรือ (3/4, 1/2, 1)
-[111 ][11 1 ][1 1 1][ 1 11][ 1 1 1 ][ 1 1 1][ 1 1 1 ][1 1 1 ]
ทิศทางที่สมมูลกัน(Family of direction)
ระนาบใน Unit cell
- การระบุระนาบของ lattice :
- จะระบุโดยการใช้สัญลักษณ์ (h k l) คือ ดัชนีมิลเลอร์
- จุดทีระนาบใด ตัดแกนผลึกจะได้ม้มาจากค่าส่ว่วนกลับของดัชนีมิลเลอร์เช่น
-ระนาบ (0 1 0) จะตัดแกน x y z ทีจุดหรือจุด ∞, 1, ∞
- โดย ∞ คือระยะอนันต์ซึงจะไม่ตัดกับแกนนั้น ๆ
- ถ้าหากจุดตัดใดติดลบก็จะใส่เครืองหมาย “-” หรือบาร์ไว้บนตัวเลขนั้น ๆ
- ในกลุ่มระนาบที่สมมูลกัน (family of planes) ก็จะใช้สัญลักษณ์ {h k l} เช่น {100}= (100 ), (010 ), (001 ), (1 00 ), (0 1 0), (00 1 )
1.ตัวอย่างระนาบใน Unit cell
Intercept |
Reciprocal |
Plane |
1. X=1 y=1 Z=1 |
1/1 1/1 1/1 |
(111) |
2. X=1/3 y=1/2 Z=1 |
3/1 2/1 1/1 |
(321) |
3. X=1/3 y=1 Z=1/2 |
3/1 1/1 2/1 |
(312) |
2.ตัวอย่างระนาบใน Unit cell
Intercept |
Reciprocal |
Plane |
1. X=∞ y=1 Z= ∞ |
1/ ∞ 1/1 1/ ∞ |
(010) |
2. X=1 y= ∞ Z= ∞ |
1/1 1/ ∞ 1/ ∞ |
(100) |
3. X= ∞ y=1/2 Z= ∞ |
1/ ∞ 2/1 1/ ∞ |
(020) |
ระนาบที่สมมูลกัน(Family of planes)
ระนาบใน Unit cell
ตัวอย่างระนาบใน lattice :
ระนาบใน lattice ( lattice planes)
ตัวอย่างระนาบใน lattice :
ระนาบและทิศทางของ Hexagonal Unit Cells
 สมบัติของ Hexagonal Unit Cells
- ดัชนีมิลเลอร์ข์ของ HCPนั้นจะแทนด้วยตัวอักษร h k i และ l เป็น็น (h k i l)โดยเป็น็นพิกัดของแกน 4แกน
- HCP จะมีแกนทีฐาน 3แกนคือ a1, a2, a3 ทำามุมกัน 120 องศา และมีแกนแนวตั้ง 1 แกน คือ แกน c
 ทิศทางของ Hexagonal Unit Cells
การระบุทิศทาง
- แบ่งฐานหกเหลี่ยม
ออกเป็็นส่่วนโดยแบ่งด้านละ 3 ช่อง
- กำหนดแกนที่ฐาน 3 แกน a1, a2, a3
Ex. [1 1 0 0]
a1= 1, a2= 1, a3= 0, c = 0
- ลากแกน a1= 1 ช่องจากจุดกำเนิด
- ลากแกน a2= 1 ช่องจากหัว a1
- ลากจากจุดกำาเนิดไปจนถึงสุดท้าย
ระนาบของ Hexagonal Unit Cells
Intercept |
Reciprocal |
Plane |
a 1/1 1/ ∞ |
1/1 1/ ∞ -1/1 1/ ∞ |
(1010) or (10'0) |
|
|
Where Plane (hkil) ; i=-(h+k) |
Intercept |
Reciprocal |
Plane |
a 1=1 a2=1 a3=-1/2 c= ∞ |
1/1 1/ 1 -2/1 1/ ∞ |
(1120) or (11'0) |
|
|
|
Intercept |
Reciprocal |
Plane |
a1=1 a2= ∞ a3=-1 c= 1 |
1/1 1/ ∞ -1/1 1/ 1 |
(1011) or (10⋅1) |
|
|
Where Plane (hkil) ; i=-(h+k) |
ระยะห่างระหว่างระนาบ
- ระยะทางระหว่าง 2 ระนาบที่ขนานกับด้วยดัชนีของมิลเลอร์ท์ทีเหมือนกัน
-สำหรับระบบลูกบาศก์***********************************************************************************************************
 |
